Всего: 146 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
На плоскости дан отрезок АВ и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF , лежащие по одну сторону от АВ, и N — точка пересечения прямых AF и BC. Докажите, что при любом положении точки М на отрезке АВ каждая прямая МN проходит через некоторую точку S, общую для всех таких прямых.
Треугольник ABC, в котором AB > AC, вписан в окружность с центром в точке O. В нём проведены высоты AA' и BB', и BB' повторно пересекает описанную окружность в точке N. Пусть M — середина отрезка AB. Докажите, что если ∠OBN = ∠NBC, то прямые AA', ON и MB' пересекаются в одной точке.
по теореме, обратной теореме Фалеса это влечёт параллельность PQ и АВ (и то, что отношение их длин равно 1 к 3). Аналогично доказывается параллельность остальных пар сторон. Строго говоря, отсюда следует подобие четырёхугольников с коэффициентом 
но это для решения задачи не нужно.Треугольник ABC, в котором AB > AC, вписан в окружность с центром в точке O. В нём проведены высоты AA' и BB', и BB' повторно пересекает описанную окружность в точке N. Пусть M — середина отрезка AB. Докажите, что если ∠OBN = ∠NBC, то прямые AA', ON и MB' пересекаются в одной точке.
Треугольник ABC, в котором AB > AC, вписан в окружность с центром в точке O. В нём проведены высоты AA' и BB', и BB' повторно пересекает описанную окружность в точке N. Пусть M — середина отрезка AB. Докажите, что если ∠OBN = ∠NBC, то прямые AA', ON и MB' пересекаются в одной точке.
В квадрат АВСD вписана окружность, касающаяся его сторон АВ, ВС, СD, DA в точках P, Q, R и S соответственно. На отрезках АР и АS взяты точки M и N так, что отрезок MN касается вписанной окружности. Докажите, что отрезки МС и NR параллельны.
и 
По свойству касательных из одной точки отсюда следует, что длина MN равна их сумме, то есть 
Теорема Пифагора для треугольника AMN, даёт 
откуда 
Последнее равенство запишем как 
откуда сразу следует подобие прямоугольных треугольников BMC и DRN, влекущее параллельность их гипотенуз МС и NR.
Точки P и Q лежат соответственно на сторонах BC и CD квадрата ABCD. Прямые AP и AQ пересекают BD в точках M и N соответственно, а прямые PN и QM пересекаются в точке H. Докажите, что AH ⊥ PQ тогда и только тогда, когда точки P, Q, M, N лежат на одной окружности.
поскольку BD – биссектриса треугольника ABP, она делит AP в отношении боковых сторон, то есть 
и 
Аналогично 
и 
Таким образом, т. Чевы гласит:
мы позволим себе вольность записывать это соотношение как 
поскольку все переменные положительны из картинки. 
что равносильно 
(для прямоугольных треугольников APR и AQR с общим катетом разность квадратов других катетов равна разности квадратов гипотенуз). Обратное тоже верно: запишем теорему косинусов для треугольников APR и AQR и вычтем равенства. Имеем:
как выразить y2 − z2 через a, b? Очевидно 
Подставив a2 и b из первого и второго уравнения системы соответственно,
после преобразований получаем 
– то есть то же, что и в левой системе, с точностью до домножения на константу. Итак, системы действительно равносильны – задача решена. 
в более геометрических терминах: когда PQ виден из точки A под углом 45°.
Т. к. 
треугольники QMA и EMP имеют два равных угла. Значит, у них равен и третий угол, и он прямой. EQ и AP — высоты в треугольнике ADE, значит, M — точка пересечения высот.Биссектрисы углов A, B и C треугольника ABC пересекаются с описанной около этого треугольника окружностью в точках A1, B1 и C1, соответственно. Найдите расстояния между точкой A1 и центром вписанной в треугольник ABC окружности, если известно, что 
по теореме о внешнем угле треугольника. Следовательно, треугольник OBA1 равнобедренный и A1B = A1O — искомый отрезок. Зная, что 
получаем 
По теореме синусов
Тогда 
Тогда 
В описанном пятиугольнике ABCDE даны длины сторон: AB = 11, BC = 9, CD = 10, DE = 14 и EA = 12. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Найдите отношение площадей треуголньиков CME и BME.
— ещё 0,5 балла.
и 
так как эти углы опираются на одну дугу. Тогда
— точка касания касательной, выпущенной из точки A, ближайшей к точке B, O — центр окружности. Пусть X — точка пересечения отрезков AB и 
Аналогично 
—
При этом, точки A, X, Y, B находятся на отрезке именно в таком порядке, то есть 
—
поэтому 
Аналогично 
Отсюда получаем 
и 
Таким образом, 
меньше полупериметра треугольника, то есть 1, что и требовалась доказать. На самом деле, мы доказали более сильное, строгое неравенство, вместо нестрогого, которое требовалось.Окружность пересекает все стороны остроугольного треугольника ABC, периметр которого равен 4. Где a, b и c — отрезки касательных к этой окружности из вершин A, B и C. Докажите, что 
прямоугольный с гипотенузой AX, поэтому 
Аналогично 
Отсюда получаем 
Таким образом, 
и 
—
и LM — средние линии в треугольниках ABC и BCD, KL и AC — перпендикулярны, LM и BD — перпендикулярны. Значит, KL перпендикулярна LM, то есть треугольник KLM — прямоугольный. Кроме того, 
а 
Отсюда 
Так как 
то 
и 
Значит, 
то есть треугольник 
а 
Отсюда 
и 
которые подобны с коэффициентом 
Так как 
то 
По теореме Пифагора в треугольнике 
